Question

13．表面积为20π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是边长为2$\sqrt{3}$的等边三角形，若平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥S-ABC体积的最大值是3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作出直观图，根据球和等边三角形的性质计算△SAB的面积和棱锥的最大高度，代入体积公式计算．

解答 解：取AB中点D，连结SD，设球O半径为r，则4πr²=20π，
解得r=$\sqrt{5}$，△ABC是边长为2$\sqrt{3}$的等边三角形，AB=2$\sqrt{3}$，CD=3．AD=$\sqrt{3}$，
过S作ABC的垂线，垂足是AB的中点时，
所求三棱锥的体积最大，此时△SAB与△ABC全等，SD=3，
三棱锥S-ABC体积V=$\frac{1}{3}$S_△SAB•CD=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（2$\sqrt{3}$）²×3=3$\sqrt{3}$．
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了棱锥的体积计算，空间几何体的作图能力，准确画出直观图找到棱锥的最大高度是解题关