Question

6．设曲线y=f（x）在原点与y=sinx相切．求极限$\underset{lim}{n→∞}$${n}^{\frac{1}{2}}$$\sqrt{f（\frac{2}{n}）}$．

Answer 1

分析 由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f′（0）=1}\end{array}\right.$，从而化简$\underset{lim}{n→∞}$${n}^{\frac{1}{2}}$$\sqrt{f（\frac{2}{n}）}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\sqrt{\frac{f（\frac{2}{n}）-f（0）}{\frac{2}{n}-0}•2}$，从而解得．

解答 解：由已知可得，$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f′（0）=1}\end{array}\right.$，
$\underset{lim}{n→∞}$${n}^{\frac{1}{2}}$$\sqrt{f（\frac{2}{n}）}$
=$\underset{lim}{n→∞}$$\sqrt{nf（\frac{2}{n}）}$
=$\underset{lim}{n→∞}$$\sqrt{\frac{f（\frac{2}{n}）-f（0）}{\frac{2}{n}-0}•2}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{f′（0）}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了导数的几何意义的应用及极限的求法．