Question

10．如果实数$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6≤0}\\{x+y-3≥0}\\{y≤3}\end{array}\right.$，满足不等式组b=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$|sinx|dx，则目标函数z=x+by的最大值是（　　）

• A． 3
• B． $\frac{21}{2}$
• C． 6
• D． 与b值有关

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，再由定积分求出b值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6≤0}\\{x+y-3≥0}\\{y≤3}\end{array}\right.$作出可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=3}\\{2x-y-6=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{9}{2}，3$）．
b=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$|sinx|dx=$-{∫}_{-\frac{π}{2}}^{0}sinxdx{+∫}_{0}^{\frac{π}{2}}sinxdx$=$cosx{|}_{-\frac{π}{2}}^{0}-cosx{|}_{0}^{\frac{π}{2}}$
=cos0-（-cos0）=2．
∴z=x+by=x+2y，化为y=-$\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$．
由图可知，当直线y=-$\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为$\frac{9}{2}+6=\frac{21}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．