Question

过抛物线y²=2px的顶点作两个互相垂直的弦OA，OB，则△OAB面积的最小值为

 

．

Answer 1

分析：如图所示，设A(

y 2 1

2p

，y1)，B(

y 2 2

2p

，y2)，y₁y₂≠0．由于

OA

⊥

OB

，利用数量积可得

OA

•

OB

=

y 2 1 y 2 2

4p2

+y1y2=0，化为y1y2=-4p2．利用三角形的面积S_△OAB=

1

2

|OA| |OB|=

1

2

y 4 1 4p2 + y 2 1

y 2 2 4p2 + y 2 2

及其基本不等式即可得出．

解答：解：设A(

y 2 1

2p

，y1)，B(

y 2 2

2p

，y2)，y₁y₂≠0．
∵

OA

⊥

OB

，
∴

OA

•

OB

=

y 2 1 y 2 2

4p2

+y1y2=0，
化为y1y2=-4p2．
∴S_△OAB=

1

2

|OA| |OB|=

1

2

y 4 1 4p2 + y 2 1

y 2 2 4p2 + y 2 2

=

1

2

•

|y1y2|

4p2

( y 2 1 +4p2)( y 2 2 +4p2)

=

1

2

(y1y2)2+4p2( y 2 1 + y 2 2 )+16p4

≥

1

2

32p4+4p2•2|y1y2|

=4p²．
当且仅当|y₁|=|y₂|=2p时取等号．
故答案为4p²．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、数量积运算与向量垂直的关系、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于难题．