Question

【题目】已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，直线l'垂直l于点P，线段PF的垂直平分线交l'于点Q．
（1）求点Q的轨迹方程C；
（2）过F做斜率为 的直线交C于A，B，过B作l平行线交C于D，求△ABD外接圆的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由垂直平分线的性质可知：PQ=PF，结合抛物线的定义可得Q点的轨迹方程是以F点为焦点，以直线l为准线的抛物线，其轨迹方程C为：y2=4x．

（2）由题意可得，直线l的方程为： ，

与抛物线方程C联立整理可得：y2﹣8y﹣4=0，则：y1+y2=8，y1y2=﹣4，

很明显△ABD外接圆的圆心为线段AB的垂直平分线与x轴的交点，

设AB中点为E，则 ，

中垂线方程为：y﹣4=﹣2（x﹣9），令y=0可得圆心坐标为：（11，0），

利用弦长公式： ，

圆心到直线AB：x﹣2y﹣1=0的距离为： ，

设圆的半径为R，据此有： ，

则△ABD外接圆的方程是（x﹣11）2+y2=120．

【解析】（1）由垂直平分线的性质可知：PQ=PF，结合抛物线的定义可得Q点的轨迹方程是以F点为焦点，以直线l为准线的抛物线，其轨迹方程C为：y2=4x．（2）根据题意设直线方程为：y = ( x 1 )，联立抛物线方程，根据韦达定理得到y1+y2， y1y2， 很明显△ABD外接圆的圆心为线段AB的垂直平分线与x轴的交点，可得到中点E的坐标，进而得到中垂线方程，当y=0时，得到圆心坐标，根据勾股定理可解得R，从而的到外接圆的方程.