Question

14．设函数f（x）=x²+aln（x+1）．
（1）若a=-12，写出函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若在区间[0，1]上，函数f（x）在x=0处取得最大值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=-12代入函数的表达式，求出函数f（x）的导数，从而求出函数的单调区间；
（2）先求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性将问题转化为2x²+2x+a≥0在[2，+∞）上恒成立，从而求出a的范围；
（3）根据方程2x²+2x+a=0，△=4-8a，通过讨论△的符号，从而求出a的范围．

解答 解：（1）当a=-12，f（x）=x²-12ln（x+1）（x＞-1），
f′（x）=2x-$\frac{12}{x+1}$=$\frac{2（x+3）（x-2）}{x+1}$，（x＞-1），
∴当-1＜x＜2时f′（x）＜0，当x＞2时f′（x）＞0，…（3分）
∴函数f（x）在（-1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．…（4分）
（2）∵f′（x）=2x+$\frac{a}{x+1}$=$\frac{{2x}^{2}+2x+a}{x+1}$，（x＞-1），
又∵函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴2x²+2x+a≥0在[2，+∞）上恒成立，…（6分）
令t=2x²+2x=2${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{2}$（x≥2），则t≥12，
∴a≥-12．…（8分）
（3）对于方程2x²+2x+a=0，△=4-8a，
当△≤0时，f′（x）≥0，f（x）在区间[0，1]上单调递增不合题意，
当△＞0时，设x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程2x²+2x+a=0的两个根，…（10分）
根据题意有x₁＜0＜x₂且f（0）＞f（1），
∴解得a＜-log₂e，…（13分）
∴实数a的取值范围为（-∞，-log₂e）．…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．