分析 (1)将a=-12代入函数的表达式,求出函数f(x)的导数,从而求出函数的单调区间;
(2)先求出函数f(x)的导数,根据函数的单调性将问题转化为2x2+2x+a≥0在[2,+∞)上恒成立,从而求出a的范围;
(3)根据方程2x2+2x+a=0,△=4-8a,通过讨论△的符号,从而求出a的范围.
解答 解:(1)当a=-12,f(x)=x2-12ln(x+1)(x>-1),
f′(x)=2x-$\frac{12}{x+1}$=$\frac{2(x+3)(x-2)}{x+1}$,(x>-1),
∴当-1<x<2时f′(x)<0,当x>2时f′(x)>0,…(3分)
∴函数f(x)在(-1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.…(4分)
(2)∵f′(x)=2x+$\frac{a}{x+1}$=$\frac{{2x}^{2}+2x+a}{x+1}$,(x>-1),
又∵函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,
∴2x2+2x+a≥0在[2,+∞)上恒成立,…(6分)
令t=2x2+2x=2${(x+\frac{1}{2})}^{2}$-$\frac{1}{2}$(x≥2),则t≥12,
∴a≥-12.…(8分)
(3)对于方程2x2+2x+a=0,△=4-8a,
当△≤0时,f′(x)≥0,f(x)在区间[0,1]上单调递增不合题意,
当△>0时,设x1,x2(x1<x2)是方程2x2+2x+a=0的两个根,…(10分)
根据题意有x1<0<x2且f(0)>f(1),
∴解得a<-log2e,…(13分)
∴实数a的取值范围为(-∞,-log2e).…(14分)
点评 本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,函数恒成立问题,是一道中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (2,2$\sqrt{2}$) | B. | (2$\sqrt{2}$,2) | C. | (2$\sqrt{2}$,2$\sqrt{2}$) | D. | (1,0) |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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