Question

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，对任意x、y满足f（x-y）=f（x）•g（y）-g（x）•f（y），且f（-2）=f（1）≠0，则g（1）+g（-1）=

1. A.
   -1
2. B.
   1
3. C.
   2
4. D.
   -2

Answer 1

A
分析：先采用赋值法，求出f（0）=0，g（0）=1，然后在已知等式中取x为0，即可证出函数f（x）是奇函数，最后取x=1，y=-1代入已知等式，结合前面求出的数据，变形整理可得f（1）[g（-1）+g（1）+1]=0，结合已知条件可得g（1）+g（-1）=-1．
解答：令x=y=0，代入已知等式得f（0）=f（0）g（0）-g（0）f（0）=0，得f（0）=0，
再令y=0，x=1，代入已知等式得f（1）=f（1）g（0）-g（1）f（0），可得f（1）[1-g（0）]=g（1）f（0）=0，
结合f（1）≠0得1-g（0）=0，g（0）=1
再令x=0，代入已知等式得f（-y）=f（0）g（y）-g（0）f（y），
将f（0）=0，g（0）=1代入上式，得f（-y）=-f（y），
∴函数f（x）为奇函数．
再令x=1，y=-1代入已知等式，得f（2）=f（1）g（-1）-g（1）f（-1）
∵f（-1）=-f（1），
∴f（2）=f（1）[g（-1）+g（1）]
又∵f（2）=-f（-2）=-f（1）
∴-f（1）=f（1）[g（-1）+g（1）]，即f（1）[g（-1）+g（1）+1]=0
∵f（1）≠0，∴g（-1）+g（1）+1=0得g（1）+g（-1）=-1
故选A
点评：本题以一个特殊函数为例，叫我们求一对互为相反数的自变量所对应的函数值的和，考查了函数的奇偶性和赋值法在抽象函数中的应用等知识，属于基础题．抽象函数性质的探究，赋值是一个主要的手段