Question

已知a＞0且a≠1．设命题p：函数y=a^x是定义在R上的增函数；命题q：关于x的方程x²+ax+1=0有两个不等的负实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据指数函数的性质可知，若p真：a＞1，若q真：△=（a-1）²-4＞0，再根据“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断命题p、q一真一假，从而求出a的范围．

解答：解：由函数y=a^x是定义在R上的增函数，得a＞1，
∴p为真时，a＞1；
由关于x的方程x²+ax+1=0有两个不等的负实根，得

△=a2-4＞0 - a 2 ＜0 f(0)＞0

⇒a＞2，
∵p或q为真，p且q为假，由复合命题真值表知：p，q一真一假，
若p真q假时，1＜a≤2；
若p假q真时，

0＜a＜1 a＞2

⇒a∈∅；
综上a的取值范围是1＜a≤2．

点评：本题主要考查了指数函数的单调性及其应用，考查了二次函数的图象性质及应用，考查了复合命题的真假判断规律，利用二次函数的图象性质分析求解命题q为真时的等价条件是解答本题的关键．