Question

【题目】已知函数f（x）= ﹣2alnx+（a﹣2）x，a∈R．
（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的极值；
（2）当a＜0时，讨论函数f（x）单调性；
（3）是否存在实数a，对任意的m，n∈（0，+∞），且m≠n，有 ＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）当a=﹣1时， ，

．

当0＜x＜1或x＞2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

当1＜x＜2时，f'（x）＜，f（x）单调递减，

所以x=1时， ；

x=2时，f（x）极小值=f（2）=2ln2﹣4．

（2）当a＜0时， = = ，

①当﹣a＞2，即a＜﹣2时，由f'（x）＞0可得0＜x＜2或x＞﹣a，此时f（x）单调递增；

由f'（x）＜0可得2＜x＜﹣a，此时f（x）单调递减；

②当﹣a=2，即a=﹣2时，f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）单调递增；

③当﹣a＜2，即﹣2＜a＜0时，由f'（x）＞0可得0＜x＜﹣a或x＞2，此时f（x）单调递增；

由f'（x）＜0可得﹣a＜x＜2，此时f（x）单调递减．

综上：当a＜﹣2时，f（x）增区间为（0，2），（﹣a，+∞），减区间为（2，﹣a）；

当a=﹣2时，f（x）增区间为（0，+∞），无减区间；

当﹣2＜a＜0时，f（x）增区间为（0，﹣a），（2，+∞），减区间为（﹣a，2）．

（3）假设存在实数a，对任意的m，n∈（0，+∞），且m≠n，有 恒成立，

不妨设m＞n＞0，则由 恒成立可得：f（m）﹣am＞f（n）﹣an恒成立，

令g（x）=f（x）﹣ax，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g'（x）≥0恒成立，

即f'（x）﹣a≥0恒成立，

∴ ，即 恒成立，又x＞0，

∴x2﹣2x﹣2a≥0在x＞0时恒成立，

∴ ，

∴当 时，对任意的m，n∈（0，+∞），且m≠n，有 恒成立．

【解析】（1）根据导数求得函数f（x）的单调区间，进而求得函数的极值；（2）先求得函数的导数函数，再利用导数函数的特点对a进行分类，进而求得函数的单调区间；（3）本题的关键是对所给的函数不等式转化为求函数g（x）在（0，+∞）上单调递增的问题.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．