Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）记函数的极值点为，若，且，求证：

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】分析：（1）对求导，由得到函数的单调区间。

（2）利用极值求出，然后构造函数，利用函数单调性、最值进行求解。

详解：(1)，令，则，

当时，，当时，，

则函数的增区间为，减区间为.

（2）由可得，所以的极值点为.

于是，等价于,

由得且.

由整理得，，即.

等价于，①

令，则.

式①整理得，其中.

设,.

只需证明当时，.

又，设 ，

则

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增.

所以,；

注意到，，

，

所以，存在，使得，

注意到，，而，所以.

于是，由可得或；由可得.

在上单调递增，在上单调递减.

于是，，注意到，，，

所以，，也即，其中.

于是，.