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1.已知向量$\overrightarrow a$=(${2sin\frac{x}{4}$,cos$\frac{x}{2}}$),$\overrightarrow b$=(cos$\frac{x}{4}$,1),且f(x)=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[-π,π]上的最大值和最小值及取得最值时x的值.

分析 (Ⅰ)利用向量的数量积公式,结合辅助角公式化简函数,再求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)利用三角函数的图象与性质,整体思维求函数f(x)在区间[-π,π]上的最大值和最小值及取得最值时x的值.

解答 解:(Ⅰ) $f(x)=\overrightarrow a•\overrightarrow b=2sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}+cos\frac{x}{2}$…(1分)
=$sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}$…(2分)
=$\sqrt{2}({\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin\frac{x}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}cos\frac{x}{2}})$…(3分)
=$\sqrt{2}({sin\frac{x}{2}cos\frac{π}{4}+cos\frac{x}{2}sin\frac{π}{4}})$=$\sqrt{2}sin({\frac{x}{2}+\frac{π}{4}})$…(5分)
∴f(x)的最小正周期$T=\frac{2π}{{\frac{1}{2}}}=4π$…(6分)
(Ⅱ)∵x∈[-π,π],∴$\frac{x}{2}+\frac{π}{4}∈[{-\frac{π}{4},\frac{3π}{4}}]$,…(7分)
当$\frac{x}{2}+\frac{π}{4}=-\frac{π}{4}$,即x=-π时,$f{(x)_{min}}=\sqrt{2}sin({-\frac{π}{4}})=-\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=-1$;…(9分)
当$\frac{x}{2}+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$,即$x=\frac{π}{2}$时,$f{(x)_{max}}=\sqrt{2}sin\frac{π}{2}=\sqrt{2}$…(11分)
∴当x=-π时,函数f(x)取得最小值-1;当$x=\frac{π}{2}$时,函数f(x)取得最大值$\sqrt{2}$.                …(12分)

点评 本题考查向量的数量积公式,辅助角公式,考查三角函数的性质,正确化简是关键.

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