Question

从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：
（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？
（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？
（3）在（1）中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？

Answer 1

解：（1）由题意知本题是一个分步计数问题，
第一步在4个偶数中取3个，有C₄³种结果，
第二步在5个奇数中取4个，有C₅⁴种结果，
第三步得到的7个数字进行排列有A₇⁷种结果，
∴符合题意的七位数有C₄³C₅⁴A₇⁷=100800
（2）上述七位数中，三个偶数排在一起可以把三个偶数看成一个元素进行排列，
三个元素之间还有一个排列，有C₄³C₅⁴A₅⁵A₃³=14400
（3）上述七位数中偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，
再将3个偶数分别插入5个空档，
共有A₅⁴C₄³A₅³=28800个
分析：（1）本题是一个分步计数问题，第一步在4个偶数中取3个，有C₄³种结果，第二步在5个奇数中取4个，有C₅⁴种结果，第三步得到的7个数字进行排列有A₇⁷种结果，根据分步计数原理得到结果．
（2）上述七位数中三个偶数排在一起可以把三个偶数看成一个元素进行排列，三个元素之间还有一个排列，得到结果
（3）上述七位数中偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，利用分别计数原理得到结果．
点评：本题考查排列组合及简单计数问题，本题解题的关键是对于要求相邻的元素要采用捆绑法，对于不相邻的元素要采用插空法，本题是一个比较典型的排列组合问题．