Question

6．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点．
（1）求证：平面EFG∥平面PMA；
（2）求证：平面EFG⊥平面PDC．

Answer 1

分析 （1）推导出EC∥PM，GF∥BC∥AD，由此能证明平面EFG∥平面PMA．
（2）推导出BC⊥DC，且BC⊥PD，由此能证明平面EFG⊥平面PDC．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，
E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，
∴EC∥PM，GF∥BC∥AD，
∵PM与AD相交，EG∩GF=F，
PM，AD?平面PMA，EG，GF?平面EFG，
∴平面EFG∥平面PMA．
（2）∵四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，
∴BC⊥DC，且BC⊥PD，
∵PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC，
∵G、F分别为PB、PC的中点，∴GF∥BC，
∴GF⊥平面PDC，
∵GF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC．

点评 本题考查面面平行、面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．