Question

16．已知定义在R上的函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+2}$（a为实常数）是奇函数g（x）=2（x-x²）．
（Ⅰ）求a的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对任意的t∈[-1，4]，不等式f（g（t）-1）+f（8t+m）＜0（m为实常数）都成立，求m的取值范围．
（Ⅲ）记F₁（x）=f（x）+x2-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$+$\frac{1}{2}$，F₂（x）=g（x），F₃（x）=$\frac{1}{3}$|sin2πx|，b₁=$\frac{i}{100}$，i=0，1，2，…，100，若M_k=|F_k（b₁）-F_k（b₀）|+|F_k（b₂）-F_k（b₁）|+…+|F_k（b₁₀₀）-F_k（b₉₉）|，k=1，2，3，试比较M₁，M₂，M₃的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据函数为奇函数得f（0）=0，求出a的值，再用定义证明函数的奇偶性和单调性；
（2）应用函数的奇偶性和单调性将问题转化为：2（t-t²）-1＞-8t-m恒成立，再用分离参数法求解；
（3）先求出各函数，再判断函数的单调性，并根据单调性对M_k分段计算，最后比较大小．

解答 解：（1）因为f（x）为奇函数，所以f（0）=0，解得a=1，
此时，f（x）=$\frac{1-2^x}{2（1+2^x）}$，验证如下：
f（-x）=$\frac{1-{2}^{-x}}{2（1+{2}^{-x}）}$=-$\frac{1-2^x}{2（1+2^x）}$=-f（x），符合题意，
又f（x）=$\frac{1-2^x}{2（1+2^x）}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2^x+1}$，则f（x）为R上单调递减函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，
所以，f（x）为R上的单调递减函数；
（2）由（1）可知，f（x）R上的奇函数，减函数，
所以，原不等式可等价为：f[2（t-t²）-1]＜f（-8t-m），
即2（t-t²）-1＞-8t-m，分离参数m得，m＞2t²-10t+1，
根据题意，m＞（2t²-10t+1）_max，其中，t∈[-1，4]，
而2t²-10t+1=2（t-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{23}{2}$∈[-$\frac{23}{2}$，13]，
因此，实数m的取值范围为：[13，+∞）；
（3）根据题意，逐个考察各函数：
①F₁（x）=f（x）+x²-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$+$\frac{1}{2}$=x²，在[0，1]上单调递增，
所以，M₁=|F₁（b₁）-F₁（b₀）|+|F₁（b₂）-F₁（b₁）|+…+|F₁（b₁₀₀）-F₁（b₉₉）|
=F₁（b₁₀₀）-F₁（b₀）=F₁（1）-F₁（0）=1，即M₁=1，
②F₂（x）=g（x）=2（x-x²），图象的对称轴为x=$\frac{1}{2}$，
所以F₂（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，在（$\frac{1}{2}$，1）单调递减，
所以，M₂=|F₂（b₁）-F₂（b₀）|+|F₂（b₂）-F₂（b₁）|+…+|F₂（b₁₀₀）-F₂（b₉₉）|
=[F₂（b₅₀）-F₂（b₀）]+[F₂（b₅₀）-F₂（b₁₀₀）]
=2F₂（b₅₀）-F₂（b₀）-F₂（b₁₀₀）=2×$\frac{1}{2}$-0-0=1，即M₂=1，
③F₃（x）=$\frac{1}{3}$|sin2πx|，在x∈[0，$\frac{1}{4}$]递增，在[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]递减，在[$\frac{3}{4}$，1]递增，
所以，M₃=|F₃（b₁）-F₃（b₀）|+|F₃（b₂）-F₃（b₁）|+…+|F₃（b₁₀₀）-F₃（b₉₉）|
=F₃（b₂₅）-F₃（b₀）+F₃（b₂₅）-F₃（b₇₅）+F₃（b₁₀₀）-F₃（b₇₅）
=[F₃（b₂₅）-F₃（b₀）]+[F₃（b₂₅）-F₃（b₇₅）]+[F₃（b₁₀₀）-F₃（b₇₅）]
=$\frac{1}{3}$[1-0]+$\frac{1}{3}$[1-（-1）]+$\frac{1}{3}$[0-（-1）]=$\frac{4}{3}$，即M₃=$\frac{4}{3}$，
所以，M₁，M₂，M₃的大小关系为：M₁=M₂＜M₃．

点评 本题主要考查了函数奇偶性和单调性的判断和证明，以及单调性和奇偶性的综合应用，不等式恒成立问题的解法，属于难题．