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17.已知函数$f(x)=\frac{1}{2}a{x^2}+3lnx,g(x)=-bx$,其中a,b∈R.设h(x)=f(x)-g(x),若$f'(\frac{{\sqrt{2}}}{2})=0$,且f′(1)=g(-1)-2.
(1)求a,b的值;
(2)求函数h(x)的图象在点(1,-4)处的切线方程.

分析 (1)求出函数的导数,利用已知条件列出方程即可求出a,b的值.
(2)求出切点坐标,切线的斜率,即可求解切线方程.

解答 解:(1)因为${f^/}(x)=ax+\frac{3}{x}$,所以f′(1)=a+3.
由f′(1)=g(-1)-2可得b=a+5,又${f^'}(\frac{{\sqrt{2}}}{2})=0$,
所以${f^/}(\frac{{\sqrt{2}}}{2})=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a+3\sqrt{2}=0$,
所以a=-6,b=-1.
(2)h(x)=-3x2+3lnx-x点(1,-4)为切点,
故${h^/}(x)=-6x+\frac{3}{x}-1$,
斜率k=h′(1)=-4,
故切线方程为y=-4x.

点评 本题考查切线方程的求法,函数的解析式的求法,导数的应用,考查计算能力.

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