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已知函数 .
(Ⅰ)若,试确定函数的单调区间;
(Ⅱ)若且对任意恒成立,试确定实数的取值范围;
(Ⅲ)设函数,求证:.
(Ⅰ)单调递增;在单调递减  4分
(Ⅱ).
(Ⅲ).

试题分析:(Ⅰ),令,解得
时,单调递增;
时,单调递减  4分
(Ⅱ)为偶函数,恒成立等价于恒成立
解法1:当时,,令,解得
(1)当,即时,减,在
,解得
(2)当,即时,上单调递增,
,符合,
综上,.                  9分 
解法2: 等价于恒成立,
. 当时, ;当时, ;
时,  
 
(Ⅲ)



.   14分
点评:难题,本题属于导数应用中的基本问题,在某区间,导数值非负,函数为增函数,导数值非正,函数为减函数。不等式证明问题,往往通过构造函数,转化成了研究函数的最值,使问题得解。本题涉及不等式恒成立问题,通过研究函数的最值,解决了问题。
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