Question

16．已知函数f（x）=|x-2|+|x-10|，且满足f（x）＜8a（a∈R）的解集不是空集，
（1）求实数a的取值范围；
（2）求a+$\frac{4}{{a}^{2}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）要使f（x）=|x-2|+|x-10|＜8a的解集不是空集，需（|x-2|+|x-10|）_min＜8a，由绝对值不等式求最小值可得；
（2）由（1）可得a＞1，可得a+$\frac{4}{{a}^{2}}$=$\frac{a}{2}$+$\frac{a}{2}$+$\frac{4}{{a}^{2}}$，由三项的基本不等式可得．

解答 解：（1）要使f（x）=|x-2|+|x-10|＜8a的解集不是空集，
需（|x-2|+|x-10|）_min＜8a，
又|x-2|+|x-10|≥|（x-2）-（x-10）|=8，
∴8＜8a，解得a＞1；
（2）由（1）可得a＞1，
∴a+$\frac{4}{{a}^{2}}$=$\frac{a}{2}$+$\frac{a}{2}$+$\frac{4}{{a}^{2}}$≥3$\root{3}{\frac{a}{2}•\frac{a}{2}•\frac{4}{{a}^{2}}}$=3，
当且仅当$\frac{a}{2}$=$\frac{a}{2}$=$\frac{4}{{a}^{2}}$即a=2时取等号，
∴a+$\frac{4}{{a}^{2}}$的最小值为3．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及绝对值不等式的解法和恒成立问题，属基础题．