Question

8．点P在椭圆3x²+y²=12上，OP倾斜角为60°，AB∥OP，A，B在椭圆上且都在x轴上方，求△ABP面积的最大值及此时直线AB的方程．

Answer 1

分析 设直线OP的方程为y=$\sqrt{3}$x，代入椭圆方程，求得P的坐标，再设直线AB的方程为y=$\sqrt{3}$（x+m）（m＞0），代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，求得m的范围，再由弦长公式可得|AB|，再求P到直线AB的距离，运用三角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值及对应的m的值，可得直线AB的方程．

解答 解：设直线OP的方程为y=$\sqrt{3}$x，代入椭圆方程3x²+y²=12，
可得x=$\sqrt{2}$，y=$\sqrt{6}$，即有P（$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），
设直线AB的方程为y=$\sqrt{3}$（x+m）（m＞0），代入椭圆方程可得，
2x²+2mx+m²-4=0，由△=4m²-8（m²-4）＞0，解得0＜m＜2$\sqrt{2}$，
x₁+x₂=-m，x₁x₂=$\frac{1}{2}$（m²-4），
即有|AB|=$\sqrt{1+3}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{{m}^{2}-2（{m}^{2}-4）}$
=2$\sqrt{8-{m}^{2}}$，
又P到直线AB的距离为d=$\frac{|\sqrt{3}（\sqrt{2}+m）-\sqrt{6}|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|m|，
即有S_△ABP=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|m|•$\sqrt{8-{m}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{{m}^{2}}$•$\sqrt{8-{m}^{2}}$
≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{{m}^{2}+8-{m}^{2}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
当且仅当m²=8-m²，解得m=2，△ABP的面积取得最大值2$\sqrt{3}$，
此时直线AB的方程为y=$\sqrt{3}$（x+2）．

点评 本题考查椭圆的方程的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查面积的最大值，注意运用基本不等式，属于中档题．