Question

已知复数z满足|2z+

1

z

|=1，则z的幅角主值范围是

[

π

2

-

1

2

arccos

3

4

，

π

2

+

1

2

arccos

3

4

]∪[

3π

2

-

1

2

arccos

3

4

，

3π

2

+

1

2

arccos

3

4

]

．

Answer 1

分析：利用复数的三角形式可转化为关于r的一元二次方程有正根，从而可求得z的幅角主值范围．

解答：解：设z=r（cosθ+isinθ），则|2z+

1

z

|=1?4r⁴+（4cos2θ-1）r²+1=0，
这个等式成立等价于关于x的二次方程4x²+（4cos2θ-1）x+1=0有正根．
△=（4cos2θ-1）²-16≥0，
∴16cos²2θ-8cos2θ-15≥0，
∴cos2θ≤-

3

4

或cos2θ≥

5

4

（舍去）．
又x₁x₂=

1

4

＞0，
故必须x₁+x₂=-

4cos2θ-1

4

＞0．
∴cos2θ＜

1

4

．
∴cos2θ≤-

3

4

，
∴（2k+1）π-arccos

3

4

≤2θ≤（2k+1）π+arccos

3

4

．
∴kπ+

π

2

-

1

2

arccos

3

4

≤θ≤kπ+

π

2

+

1

2

arccos

3

4

，（k=0，1）．
故答案为：[

π

2

-

1

2

arccos

3

4

，

π

2

+

1

2

arccos

3

4

]∪[

3π

2

-

1

2

arccos

3

4

，

3π

2

+

1

2

arccos

3

4

]

点评：本题考查复数的基本概念，着重考查复数三角形式的应用，考查一元二次方程的根，考查转化思想与运算能力．