Question

【题目】在直角坐标系中，过点作直线交轴于A点、交轴于B点，且P位于AB两点之间.

（1）若，求直线的方程；

（2）求当取得最小值时直线的方程；

（3）当面积最小值时的直线方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

设直线可求出，．结合位于之间，建立关于的不等式，可得．

（1）由的坐标，得出向量和坐标，从而将化为关于的方程，解出值，即得直线的方程；

（2）由向量数量积的坐标运算公式，得出关于的表达式，再用基本不等式得到取得最小值时的斜率，从而得到直线的方程．

（3）求出，再利用基本不等式求最小值，从而得到等号成立的条件，即，由此能求出当面积最小值时的直线方程．

由题意知，直线的斜率存在且，

设，得令，得，所以，

再令，得，所以，

∵点位于两点之间，∴且，解得．

∴，，

（1）∵，∴，解得．

∴直线的方程为，整理得．

（2）∵，∴，

当，即时，等号成立．

∴当取得最小值时直线的方程为，

化为一般式：．

（3）∵，，，

∴，

当时，即时，取等号，

∴当面积最小值时的直线方程为，即．