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18.长为1,宽为a($\frac{1}{2}$<a<1)的矩形纸片,剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第1次操作),剩下矩形长为原矩形的宽,如图,再剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第2次操作),剩下矩形长为第二个矩形的宽,如此反复操作下去,若在第n次操作后,剩下的矩形为正方形,则操作终止.
(1)当a=$\frac{3}{5}$时,求正整数n的最大值;
(2)记第一个矩形的长为a1=1,第二个矩形的长为a2=a,以此类推,第n个矩形的长为an,数列{an}的前n项和为Sn.若存在一个正数a($\frac{1}{2}$<a<1),使对于任意的正整数n(n≥3),都有an+1<an,求证2<Sn<3.

分析 (1)求出n=1,2,3时,剩下矩形的长和宽,即可得到n的最大值;
(2)求出数列{an}的前n项,再将n-2个式子相加,可得Sn=2+a-an-1,再结合a的范围和不等式的性质,即可得证.

解答 解:(1)当n=1时,即进行第一次操作后,剩下矩形的长为a=$\frac{3}{5}$,
此时矩形的宽为1-$\frac{3}{5}$=$\frac{2}{5}$;
当n=2时,即进行第二次操作后,剩下矩形的长为$\frac{2}{5}$,
此时矩形的宽为$\frac{3}{5}$-$\frac{2}{5}$=$\frac{1}{5}$;
当n=3时,即进行第三次操作后,剩下矩形的长为$\frac{1}{5}$,
此时矩形的宽为$\frac{2}{5}$-$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{5}$.
依题意,此时操作停止,
故所求正整数n的最小值为3;
(2)证明:由题意,可得数列{an}满足a1=1,a2=a,a3=a1-a2
a4=a2-a3,…,an=an-2-an-1,(n≥3,n∈N),
将以后n-2个式子相加,可得
Sn-a1-a2=a1-an-1,即Sn-1-a=1-an-1
则Sn=2+a-an-1
由$\frac{1}{2}$<a<1,则当n≥3时,0<an-1<a<1,
即有a+2-an-1<2+a<2+1=3,
又2+a-an-1>2+a-a=2,
则有2<Sn<3.

点评 本题考查操作型的应用题的解法,考查数列的求和方法:累加法和相消求和,考查不等式的性质,属于中档题.

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