Question

13．已知点A（1，-1），B（4，0），C（2，2），平面区域D由所有满足$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成．若区域D的面积为8，则a+b的最小值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． 4
• D． 8

Answer 1

分析 如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD．分别作$\overrightarrow{CE}$=$λ\overrightarrow{CD}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BF}=μ\overrightarrow{BD}$=$μ\overrightarrow{AC}$，则由所有满足$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$（1＜λ≤a，1＜μ≤b）表示的平面区域D为平行四边形DEQF.$\overrightarrow{DE}$=$（λ-1）\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DF}$=$（μ-1）\overrightarrow{AC}$，由于$\overrightarrow{AB}$=（3，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，3），$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=6．可得$cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞$=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{3}{5}$.$sin＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞$=$\frac{4}{5}$．
由于S_{平行四边形DEQF}=$|\overrightarrow{DE}||\overrightarrow{DF}|$$sin＜\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{DF}＞$=8（λ-1）（μ-1）=8，化为λμ=λ+μ，利用基本不等式的性质可得λ+μ≥4．由$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$（1＜λ≤a，1＜μ≤b），可得$\left\{\begin{array}{l}{x=1+3λ+μ}\\{y=-1+λ+3μ}\end{array}\right.$，于是x+y=4（λ+μ）≤4（a+b）．即可得出．

解答 解：如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD．
分别作$\overrightarrow{CE}$=$λ\overrightarrow{CD}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BF}=μ\overrightarrow{BD}$=$μ\overrightarrow{AC}$，
则由所有满足$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$（1＜λ≤a，1＜μ≤b）表示的平面区域D为平行四边形DEQF．
$\overrightarrow{DE}$=$（λ-1）\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DF}$=$（μ-1）\overrightarrow{AC}$，
$\overrightarrow{AB}$=（3，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，3），$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=6．
∴$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|$=$\sqrt{10}$，∴$cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞$=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{3}{5}$．
∴$sin＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞$=$\sqrt{1-co{s}^{2}＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞}$=$\frac{4}{5}$．
∴S_{平行四边形DEQF}=$|\overrightarrow{DE}||\overrightarrow{DF}|$$sin＜\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{DF}＞$
=（λ-1）（μ-1）×$\sqrt{10}×\sqrt{10}×\frac{4}{5}$
=8（λ-1）（μ-1）=8，
化为（λ-1）（μ-1）=1，
∴λμ=λ+μ≥$2\sqrt{λμ}$，可得λμ≥4，
∴λ+μ≥4，当且仅当λ=μ=2时取等号．
∵$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$（1＜λ≤a，1＜μ≤b），
∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}+$$λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$=（1，-1）+λ（3，1）+μ（1，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=1+3λ+μ}\\{y=-1+λ+3μ}\end{array}\right.$，
∵1＜λ≤a，1＜μ≤b，
∴x+y=4（λ+μ）≤4（a+b）．
∴a+b≥λ+μ≥4，
∴a+b的最小值为4．
故选：C．

点评 本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质、平行四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了作图能力、推理能力与计算能力，属于难题．