Question

（2012•河北模拟）已知数列{a_n}的前n项和Sn=2-a_n，数列{b_n}满足b₁=1，b₃+b₇=18．且b_n+1+b_n-1=2b_n（n≥2）．
（I）数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（II）若b_n=a_n•c_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）根据由Sn求a_n的方法可求{a_n}的通项公式，由题意可得{b_n}为等差数列，由条件求其公差d，可得结果；
（II）由（I）结合题意可得，cn=

bn

an

=（2n-1）•2^n-1．，下面可由错位相减法求和，得到T_n．

解答：解由题意可得S_n=2-a_n，①
当n≥2时，S_n-1=2-a_n-1，②
①-②得，a_n=S_n-S_n-1=a_n-1-a_n，即an=

1

2

an-1
又a₁=S₁=2-a₁，可得a₁=1，易知a_n-1≠0，

an

an-1

=

1

2

故数列{a_n}是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列，所以an=

1

2n-1

由b_n+1+b_n-1=2b_n可知数列{b_n}为等差数列，设其公差为d，
则b5=

1

2

(b3+b7)=9，所以d=

b5-b1

4

=2，
故b_n=b₁+（n-1）d=2n-1
（II）由（I）结合题意可得，cn=

bn

an

=（2n-1）•2^n-1．
则Tn=1×20+3×21+5×22+…+（2n-1）×2^n-1   ③
两边同乘以2得，2Tn=1×21+3×22+5×23+…+（2n-1）×2ⁿ  ④
③-④得，-T_n=1+2（2¹+2²+2³+…+2^n-1）-（2n-1）2ⁿ
整理得，-T_n=1+2×

2-2n

1-2

-(2n-1)2n=-（2n-3）•2ⁿ-3
故Tn=(2n-3)•2n+3

点评：本题为数列的通项公式和求和的问题，涉及等比数列的判定和错位相减法求和，属中档题．