Question

20．空间四边形ABCD中，每条边长及对角线长都是a，E，F分别是AD、AC的中点，则$\overrightarrow{FE}$•$\overrightarrow{CE}$等于（　　）

• A． $\frac{3}{8}$a²
• B． $\frac{1}{4}$a²
• C． $\frac{\sqrt{3}}{8}$a²
• D． $\frac{3}{4}$a²

Answer 1

分析 由已知可得：${\overrightarrow{CD}}^{2}$=a²，$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CA}$=a²•cos60°=$\frac{1}{2}{a}^{2}$.$\overrightarrow{FE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA}）$，代入即可得出．

解答 解：如图所示，
由已知可得：${\overrightarrow{CD}}^{2}$=a²，
$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CA}$=a²•cos60°=$\frac{1}{2}{a}^{2}$．
$\overrightarrow{FE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA}）$，
∴$\overrightarrow{FE}$•$\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$•$\frac{1}{2}（\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA}）$=$\frac{1}{4}（{\overrightarrow{CD}}^{2}+\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CA}）$=$\frac{1}{4}（{a}^{2}+\frac{1}{2}{a}^{2}）$=$\frac{3}{8}{a}^{2}$，
故选：A．

点评 本题考查了向量的三角形与平行四边形法则、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．