Question

16．已知sin（α+β）=$\frac{4}{5}$，cosβ=-$\frac{5}{13}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（$\frac{π}{2}$，π），求sinα的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+β）和sinβ 的值，再利用两角和差的余弦公式求得sinα=sin[（α+β）-β]的值．

解答 解：∵sin（α+β）=$\frac{4}{5}$，cosβ=-$\frac{5}{13}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴α+β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），∴cos（α+β）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+β）}$=-$\frac{3}{5}$，sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{12}{13}$，
∴sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=$\frac{4}{5}×（-\frac{5}{13}）$-（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{12}{13}$=$\frac{16}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．