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已知数列{an}中,a2=1,前n项和为Sn,且
(1)求a1,a3
(2)求证:数列{an}为等差数列,并写出其通项公式;
(3)设,试问是否存在正整数p,q(其中1<p<q),使b1,bp,bq成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.

(1) a1=S1=="0," a3=2
(2) an=n-1
(3) 存在唯一正整数数 对(p,q)=(2,3),使b1,bp,bq成等比数列

解析试题分析:解:(1)令n=1,则a1=S1==0.      2分;         a3=2;   3分
(2)由,即,  ①     得 .  ②
②-①,得 .                    ③         5分
于是,.                           ④
③+④,得,即.             7分
又a1=0,a2=1,a2-a1=1,        
所以,数列{an}是以0为首项,1为公差的等差数列.
所以,an=n-1.                                            9分
法二②-①,得 .                   ③     5分
于是,                 7分
       所以,an=n-1.                           9分
(3)假设存在正整数数组(p,q),使b1,bp,bq成等比数列,
则lgb1,lgbp,lgbq成等差数列,                               10分
于是,.                                         11分
所以,(☆).易知(p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组解.     12分
当p≥3,且p∈N*时,<0,
故数列{}(p≥3)为递减数列                                      14分
于是<0,所以此时方程(☆)无正整数解.              15分
综上,存在唯一正整数数 对(p,q)=(2,3),使b1,bp,bq成等比数列.    16分
考点:等差数列和等比数列
点评:解决的关键是根据等差数列和等比数列的性质以及定义来求解运用。属于基础题。

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