Question

18．若x∈（0，$\frac{π}{2}$），sinxcosx=$\frac{1}{2}$，则$\frac{1}{1+sinx}$+$\frac{1}{1+cosx}$=4-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx=2及x的范围得sinx+cosx=$\sqrt{2}$，将所求式子通分即可得出答案．

解答 解：∵x∈（0，$\frac{π}{2}$）∴sinx+cosx＞0．
∵（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx=2，
∴sinx+cosx=$\sqrt{2}$．
∴$\frac{1}{1+sinx}$+$\frac{1}{1+cosx}$=$\frac{1+cosx}{（1+sinx）•（1+cosx）}$+$\frac{1+sinx}{（1+sinx）（1+cosx）}$
=$\frac{2+sinx+cosx}{1+sinx+cosx+sinxcosx}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}+\frac{1}{2}}$=4-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了同角三角函数的关系，也可列方程组解出，但计算教复杂．