Question

已知y=log₄（2x+3-x²）．
（1）求定义域；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求y的最大值，并求取得最大值的x值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由真数2x+3-x²＞0求解即可．
（2）用复合函数单调性求解，先令u=2x+3-x²，且u＞0，转化为两个基本函数：y=log₄u在定义域上是增函数，再用二次函数法研究u的单调区间，要考虑到定义域，然后用“同增异减”得到结果．
（3）先求得u的范围，再利用对数函数的单调性求得原函数的最值．
解答：解：（1）由真数2x+3-x²＞0，解得-1＜x＜3．
∴定义域是{x|-1＜x＜3}．
（2）令u=2x+3-x²，则u＞0，y=log₄u．
由于u=2x+3-x²=-（x-1）²+4，
其增区间是（-1，1]，减区间是[1，3）．
又y=log₄u在u∈（0，+∞）上是增函数，
故该函数的增区间是（-1，1]，减区间是[1，3）．
（3）∵u=2x+3-x²=-（x-1）²+4≤4，
∴y=log₄（2x+3-x²）≤log₄4=1．
∴当x=1，u取得最大值4时，y就取得最大值1
点评：本题主要考查由对数函数和二次函数构造的复合函数的单调性和最值，研究单调性时：依据是复合函数的单调性：同增异减，要注意定义域，研究值域时：用到了整体思想将复合函数转化为基本函数解决．