Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l与抛物线C相交于A，B两点，P为抛物线上一点，当直线l过抛物线焦点时，|AB|的最小值为2．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若AB的中点为（3，1），且直线PA，PB的倾斜角互补，求△PAB的面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l与抛物线C相交于A，B两点，P为抛物线上一点，

当直线l过抛物线焦点时，|AB|的最小值为2，

∴2p=2，解得p=1，

∴抛物线C的方程为y2=2x．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），

设直线l的方程为x=my+n，代入抛物线方程得y2﹣2my﹣2n=0，

y1+y2=2m，y1y2=﹣2n，

∵AB的中点为（3，1），∴2m=2，即m=1，

∴直线l的方程为x=y+2，

∴y1+y2=2，y1y2=﹣4，

∴|AB|= =2 ，

∵kAP+kBP= = =0，

∴2y0+y1+y2=0，∴y0=﹣1，

∴P（ ），点P到直线l的距离d= ，

∴△PAB的面积为 |AB|d=

【解析】（Ⅰ）当直线l过抛物线焦点时，|AB|的最小值为2，由此得到2p=2，从而能求出抛物线C的方程．（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+n，代入抛物线方程得y2﹣2my﹣2n=0，利用韦达定理结合AB的中点为（3，1），求出m=1，从而直线l的方程为x=y+2，由此利用弦长公式、直线PA，PB的倾斜角互补、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出△PAB的面积．