【题目】已知函数,.
(1)当a=1时,求:①函数在点P(1,)处的切线方程;②函数的单调区间和极值;
(2)若不等式恒成立,求a的值.
【答案】(1)①切线方程;②单调递增区间为,单调递减区间为,极大值为,无极小值;(2)1
【解析】
(1)①a=1时,f(x),f′(x),可得f′(1)=1,又f(1)=0.利用点斜式即可得出f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程.
②令f′(x)0,解得x=e.通过列表可得函数f(x)的单调递区间及其极值.
(2)由题意可得:x>0,由不等式恒成立,即x﹣1﹣alnx≥0恒成立.令g(x)=x﹣1﹣alnx≥0,g(1)=0,x∈(0,+∞).g′(x)=1.对a分类讨论,利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.
(1)①,所以,又,
所以切线方程为,即.
②,得.
+ | 0 | - | |
递增 | 极大值 | 递减 |
可得函数的单调递增区间为,单调递减区间为,极大值为,无极小值.
(2)由题意知,∴不等式恒成立,
即恒成立.
设,则有.
,
(Ⅰ)若,则在上单调递增,
又,所以在上,不符合;
(Ⅱ)若,则在上,即单调递增,
又,所以在上,不符合;
(Ⅲ)若,则在上,即单调递增,在上,即单调递减,
又,所以恒成立,符合;
(Ⅳ)若,则在上,即单调递减,
又,所以在上,不符合.
综上可得的值为1.
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【题目】进入12月以业,在华北地区连续出现两次重污染天气的严峻形势下,我省坚持保民生,保蓝天,各地严格落实机动车限行等一系列“管控令”,某市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的态度,随机采访了200名市民,将他们的意见和是否拥有私家车的情况进行了统计,得到如下的列联表:
赞同限行 | 不赞同限行 | 合计 | |
没有私家车 | 90 | 20 | 110 |
有私家车 | 70 | 40 | 110 |
合计 | 160 | 60 | 220 |
(1)根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“对限行的态度与是否拥有私家车有关”;
(2)为了了解限行之后是否对交通拥堵、环境染污起到改善作用,从上述调查的不赞同限行的人员中按是否拥有私家车分层抽样抽取6人,再从这6人中随机抽出3名进行电话回访,求3人中至少有1人没有私家车的概率.
附: ,其中.
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【题目】某机构通过对某企业今年的生产经营情况的调查,得到每月利润(单位:万元)与相应月份数的部分数据如表:
1 | 4 | 7 | 12 | |
229 | 244 | 241 | 196 |
(1)根据如表数据,请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述与的变化关系,并说明理由,,,;
(2)利用(1)中选择的函数,估计月利润最大的是第几个月,并求出该月的利润.
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【题目】某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取40名学生的测试成绩,整理数据并按分数段进行分组,假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图如图.
(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有1000名学生,试估计高一年级中“体育良好”的学生人数;
(2)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人,求在抽取的2名学生中,至少有1人体育成绩在的概率.
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【题目】已知点是抛物线:的焦点,点为抛物线的对称轴与其准线的交点,过作抛物线的切线,切点为,若点恰好在以,为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
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【题目】是抛物线为上的一点,以S为圆心,r为半径做圆,分别交x轴于A,B两点,连结并延长SA、SB,分别交抛物线于C、D两点.
求抛物线的方程.
求证:直线CD的斜率为定值.
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【题目】已知椭圆:的左、右有顶点分别是、,上顶点是,圆:的圆心到直线的距离是,且椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)平行于轴的动直线与椭圆和圆在第一象限内的交点分别为、,直线、与轴的交点记为,.试判断是否为定值,若是,证明你的结论.若不是,举反例说明.
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