Question

9．在△ABC中，A，B，C是三角形的三内角，a，b，c是三内角对应的三边，已知b²+c²-a²=bc．
（1）求∠A；
（2）若a=$\sqrt{7}$，b+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由夹角公式可知cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，将b²+c²-a²=bc代入，即可求得A的值；
（2）由余弦定理可知a²=b²+c²-2bccosA，将b+c=4，两边平方求得b²+c²=16-2bc，即可求得bc的值，根据三角形的面积公式即可求得△ABC的面积．

解答 解：（1）由题意可知：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）在△ABC中，由余弦定理可知：a²=b²+c²-2bccosA，
∴7=b²+c²-bc，
∵b+c=4，
（b+c）²=b²+c²+2bc=16，
∴b²+c²=16-2bc，
∴7=16-2bc-bc，求得bc=3，
由三角形面积公式S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴△ABC的面积$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．