Question

【题目】若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．
（1）写出函数f（x）（x∈R）的解析式．
（2）若函数g（x）=f（x）+（4﹣2a）x+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值h（a）．

Answer 1

【答案】
（1）解：设x＞0，则﹣x＜0．又因为当x≤0时，f（x）=x2+2x，

所以f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x，又因为f（﹣x）=f（x）．

所以x＞0时，f（x）=x2﹣2x．

所以f（x）=

（2）解：函数g（x）=f（x）+（4﹣2a）x+2（x∈[1，2]），f（x）= ．

∴g（x）=x2+2（1﹣a）x+2．x∈[1，2]，

①当a﹣1≤1时，即a≤2，g（x）min=g（1）=5﹣2a

②当1＜a﹣1＜2时，即2＜a＜3，g（x）min=g（a﹣1）=﹣a2+2a+1

③当a﹣1≥2时，即a≥3，g（x）min=g（2）=10﹣4a

综上：h（a）=

【解析】（1）利用函数的奇偶性曲线函数的解析式即可．（2）利用分段函数以及二次函数的性质，通过分类讨论求解函数的最小值即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)，还要掌握函数奇偶性的性质(在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇)的相关知识才是答题的关键．