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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,离心率为
2
2
,以线段F1 F2为直径的圆的面积为π,设直线l过椭圆的右焦点F2(l不垂直坐标轴),且与椭圆交于A、B两点,
(1)求椭圆的方程;
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,0),试求m的取值范围;
(3)求△ABF1面积的取值范围.
分析:(1)根据离心率为
2
2
,以线段F1 F2为直径的圆的面积为π,可求得a=
2
,c=1,从而b2=1,故可求椭圆方程;
(2)设出直线l的方程代入椭圆方程,从而求出线段AB的垂直平分线方程,令y=0,可得m的函数关系式,进而可求m的取值范围;
(3)利用韦达定理,表示出S△ABF1=
1
2
×2
×|y1-y2|,即可求得△ABF1面积的取值范围.
解答:解:(1)由离心率为
2
2
得:
c
a
=
2
2

又由线段F1 F2为直径的圆的面积为π得:πc2=π,c2=1       ②
由①,②解得a=
2
,c=1,∴b2=1,
∴椭圆方程为
x2
2
+y2=1

(2)由题意,F2(1,0),设l的方程为:y=k(x-1)(k≠0),代入椭圆方程
整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为(x0,y0),则
x0=
2k2
2k2+1
,y0=k(x0-1)=-
2k
2k2+1

∴线段AB的垂直平分线方程为y-y0=-
1
k
(x-x0
令y=0,得m=x0+ky0=
k2
2k2+1
=
1
2+
1
k2

由于
1
k2
>0即2+
1
k2
>2,
∴0<m<
1
2

(3)由(2)知,x1+x2=
4k2
2k2+1
,x1x2=
2k2-2
2k2+1

∴|x1-x2|=
2
2k2+2
2k2+1

∴|y1-y2|=
2|k|
2k2+2
2k2+1

∴S△ABF1=
1
2
×2
×|y1-y2|=
2|k|
2k2+2
2k2+1

设2k2+1=t,则t>1,∴S△ABF1=
2
×
1-
1
t2

∵t>1,∴0<
1
t2
<1,∴0<S△ABF1
2
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,解题的关键是确定线段AB的垂直平分线方程,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,若|F1F2|=2,椭圆的离心率为e=
1
2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程,
(Ⅱ)若P是椭圆上的任意一点,求
PF1
PA
的取值范围
(III)直线l:y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M,N(均不是长轴的顶点),AH⊥MN垂足为H且
AH
2
=
MH
HN
,求证:直线l恒过定点.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦点F(-c,0)是长轴的一个四等分点,点A、B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点,记直线AD、BC的斜率分别为k1,k2
(1)当点D到两焦点的距离之和为4,直线l⊥x轴时,求k1:k2的值;
(2)求k1:k2的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率是
3
2
,且经过点M(2,1),直线y=
1
2
x+m(m<0)
与椭圆相交于A,B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)当m=-1时,求△MAB的面积;
(3)求△MAB的内心的横坐标.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•威海二模)已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为e=
6
3
,过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点,且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点M(0,2),直线l:y=1,过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点,若N为AB的中点,D为N在直线l上的射影,AB的中垂线与y轴交于点P.求证:
ND
MP
AB
2
为定值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点为F,过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点,若|MN|=3,且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根,求椭圆方程.

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