Question

6．如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5．
（1）求证：四边形AEBC为平行四边形．
（2）求线段CF的长．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出∠ABC=∠BAE，从而得到AE∥BC，再由BD∥AC，能够证明四边形ACBE为平行四边形．
（2）由已知条件利用切割线定理求出EB=4，由此能够求出CF=$\frac{8}{3}$．

解答 （1）证明：∵AE与圆相切于点A，∴∠BAE=∠ACB，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠BAE，
∴AE∥BC，
∵BD∥AC，∴四边形ACBE为平行四边形．
（2）解：∵AE与圆相切于点A，
∴AE²=EB•（EB+BD），即6²=EB•（EB+5），
解得EB=4，
根据（1）有AC=EB=4，BC=AE=6，
设CF=x，由BD∥AC，得$\frac{AC}{BD}=\frac{CF}{BF}$，
∴$\frac{4}{5}=\frac{x}{6-x}$，解得x=$\frac{8}{3}$，
∴CF=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查平行四边形的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．