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14.一个边长为6的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒.当无盖方盒的容积V最大时,x的值为(  )
A.3B.2C.1D.$\frac{1}{6}$

分析 设无盖方盒的底面边长为a,则a=6-2x,则无盖方盒的容积为:V(x)=x(6-2x)2.求导得V'(x)=12x2-48x+36.再令V'(x)=12x2-48x+36=0,得x=1或x=3(舍).并求得V(1)=16.由V(x)的单调性知,16为V(x)的最大值.由此能求出截去的小正方形的边长x为多少时,无盖方盒的容积最大.

解答 解:设无盖方盒的底面边长为a,则a=6-2x,
则无盖方盒的容积为:V(x)=x(6-2x)2
得V′(x)=12x2-48x+36.
令V′(x)=12x2-48x+36>0,
解得x<1或x>3;
令V′(x)=12x2-48x+36<0,解得1<x<3.
∵函数V(x)的定义域为x∈(0,3),
∴函数V(x)的单调增区间是:(0,1);函数V(x)的单调减区间是:(1,3).
令V′(x)=12x2-48x+36=0,
得x=1或x=3(舍).
并求得V(1)=16.
由V(x)的单调性知,16为V(x)的最大值.
故截去的小正方形的边长x为1m时,无盖方盒的容积最大,其最大容积是16m3
故选C.

点评 本题考查函数模型的选择与应用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地运用导数解题.易错点是理不清数量间的相互关系,不能正确地建立方程.

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