Question

14．一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒．当无盖方盒的容积V最大时，x的值为（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 设无盖方盒的底面边长为a，则a=6-2x，则无盖方盒的容积为：V（x）=x（6-2x）²．求导得V'（x）=12x²-48x+36．再令V'（x）=12x²-48x+36=0，得x=1或x=3（舍）．并求得V（1）=16．由V（x）的单调性知，16为V（x）的最大值．由此能求出截去的小正方形的边长x为多少时，无盖方盒的容积最大．

解答 解：设无盖方盒的底面边长为a，则a=6-2x，
则无盖方盒的容积为：V（x）=x（6-2x）²．
得V′（x）=12x²-48x+36．
令V′（x）=12x²-48x+36＞0，
解得x＜1或x＞3；
令V′（x）=12x²-48x+36＜0，解得1＜x＜3．
∵函数V（x）的定义域为x∈（0，3），
∴函数V（x）的单调增区间是：（0，1）；函数V（x）的单调减区间是：（1，3）．
令V′（x）=12x²-48x+36=0，
得x=1或x=3（舍）．
并求得V（1）=16．
由V（x）的单调性知，16为V（x）的最大值．
故截去的小正方形的边长x为1m时，无盖方盒的容积最大，其最大容积是16m³．
故选C．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用导数解题．易错点是理不清数量间的相互关系，不能正确地建立方程．