Question

如图：D、E分别是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱AA₁、B₁C₁的中点，且棱AA₁=8，AB=4，
（1）求证：A₁E∥平面BDC₁．
（2）求二面角A₁-BC₁-B₁的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲证线面平行，关键是证线线平行．在线段BC₁上取中点F，连接EF、DF，可得EF∥DA₁，且EF=DA₁，所以四边形EFDA₁是平行四边形，所以A₁E∥FD，再结合线面平行的判定定理可得线面平行．
（2）先作出二面角A₁-BC₁-B₁的平面角：A₁E⊥B₁C₁，A₁E⊥CC₁，得A₁E⊥平面CBB₁C₁，过点E作EH⊥BC₁于H，连接A₁H，则∠A₁HE为二面角A₁-BC₁-B₁的平面角，再分别求出EH，A₁E的长，利用正切函数可求．
解答：证明：在线段BC₁上取中点F，连接EF、DF
则由题意得EF∥DA₁，且EF=DA₁，
∴四边形EFDA₁是平行四边形
∴A₁E∥FD，又A₁E?平面BDC₁，FD?平面BDC₁
∴A₁E∥平面BDC₁                              …（6分）
（2）由A₁E⊥B₁C₁，A₁E⊥CC₁，得A₁E⊥平面CBB₁C₁，过点E作
EH⊥BC₁于H，连接A₁H，则∠A₁HE为二面角A₁-BC₁-B₁的平面角        …（8分）
在Rt△BB₁C₁中，由BB₁=8，B₁C₁=4，得BC₁边上的高为，∴EH=，
又A₁E=2，∴tan∠A₁HE=
∴二面角A₁-BC₁-B₁为arctan…（12分）
点评：本题的考点是与二面角有关的立体几何综合问题．主要考查用线面平行的判定定理证明线面平行，以及求二面角的平面角，而空间角解决的关键是做角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角来，是求角的关键．