Question

【题目】某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图2所示，其周长为4m，这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况．如图，ABCD（AB＞AD）为长方形的材料，沿AC折叠后AB'交DC于点P，设△ADP的面积为S2 ， 折叠后重合部分△ACP的面积为S1 ．
（Ⅰ）设AB=xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（Ⅱ）求面积S2最大时，应怎样设计材料的长和宽？
（Ⅲ）求面积（S1+2S2）最大时，应怎样设计材料的长和宽？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意，AB=x，BC=2﹣x，∵x＞2﹣x，∴1＜x＜2

设DP=y，则PC=x﹣y，由△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，

由PA2=AD2+DP2，得（x﹣y）2=（2﹣x）2+y2

即： .

（Ⅱ）记△ADP的面积为S2，则 ．

当且仅当 时，S2取得最大值．

故当材料长为 ，宽为 时，S2最大．

（Ⅲ）

于是令 ，∴

∴关于x的函数 在 上递增，在 上递减，

∴当 时，S1+2S2取得最大值．

故当材料长为 ，宽为 时，S1+2S2最大

【解析】（Ⅰ）设DP=y，根据图2将PC、AD用x，y表示，由图1可知，则PA=PC，在中，根据勾股定理列出等式；（Ⅱ）利用均值定理即可求解；（Ⅲ）构造函数F（t）=lnt-，利用导数讨论函数F（t）的单调性.