Question

在平面直角坐标系xoy中，椭圆C为

x2

4

+y²=1
（1）若一直线与椭圆C交于两不同点M、N，且线段MN恰以点（-1，

1

4

）为中点，求直线MN的方程；
（2）若过点A（1，0）的直线l（非x轴）与椭圆C相交于两个不同点P、Q试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使

PE

•

QE

恒为定值λ？若存在，求出点E的坐标及实数λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先判断直线MN与椭圆必有公共点，再利用点差法得到中点坐标与直线斜率的关系式，即可求直线MN的方程；
（2）假定存在定点E（m，0），使

PE

•

QE

恒为定值λ，可设直线l的方程代入椭圆方程，得到一元二次方程，进而利用向量的关系得到参数的值．

解答：解：（1）∵点（-1，

1

4

）在椭圆内部，∴直线MN与椭圆必有公共点
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由已知x₁≠x₂，则有

x12

4

+y12=1，

x22

4

+y22=1
两式相减，得

(x1+x2)(x1-x2)

4

=-（y₁-y₂）（y₁+y₂）
而x1+x2=-2，y1+y2=

1

2

，∴直线MN的斜率为1
∴直线MN的方程为4x-4y+5=0；
（2）假定存在定点E（m，0），

PE

•

QE

恒为定值λ
由于直线l不可能为x轴，于是可设直线l的方程为x=ky+1，且设点P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
将x=ky+1代入

x2

4

+y²=1得（k²+4）y²+2ky-3=0．
显然△＞0，∴y₃+y₄=-

2k

k2+4

，y₃y₄=-

3

k2+4

∵

EP

=（x₃-m，y₃），

EQ

=（x₄-m，y₄），，
∴

PE

•

QE

=x₃x₄-m（x₃+x₄）+m²+y₃y₄=

(m2-4)k2+4m2-8m+1

k2+4

若存在定点E（m，0），使

(m2-4)k2+4m2-8m+1

k2+4

=λ为定值（λ与k值无关），则必有

m2-4=λ 4m2-8m+1=4λ

∴m=

17

8

，λ=

33

64

∴在x轴上存在定点E（

17

8

，0），使

PE

•

QE

恒为定值

33

64

．

点评：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系综合运用，考查点差法，考查向量知识的运用，综合性强．