Question

如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=5，AB=7，∠BDA=60°，∠BCD=135°，求
（1）线段BD的长；
（2）线段BC的长．

Answer 1

分析：（1）设BD=x，在△ABD中由余弦定理BA²=BD²+AD²-2BD•AD•cos∠BDA的式子建立关于x的方程，解之得x=8（舍负），由此可得线段BD的长等于8；
（2）在△BCD中，利用正弦定理

BC

sin∠CDB

=

BD

sin∠BCD

的式子，代入题中数据即可算出BC=4

2

．

解答：解：（1）在△ABD中，设BD=x
由余弦定理：BA²=BD²+AD²-2BD•AD•cos∠BDA
∴7²=x²+5²-2•5x•cos60°，整理得：x²-5x-24=0
解之得x₁=8，x₂=-3（舍去）（5分）
∴线段BD的长等于8
（2）由正弦定理

BC

sin∠CDB

=

BD

sin∠BCD

，得
BC=

BDsin∠CDB

sin∠BCD

代入题中数据，得BC=

8

sin135°

•sin30°=4

2

（10分）

点评：本题给出特殊四边形，求两条线段之长．着重考查了利用正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．