Question

数列中，a_n＞0，a_n≠1，且an+1=

3an

2an+1

（n∈N^*）．
（1）证明：a_n≠a_n+1；
（2）若a1=

3

4

，计算a₂，a₃，a₄的值，并求出数列的通项公式．

Answer 1

分析：（1）采用反证法证明，先假设两种相等，代入已知的等式中即可求出a_n的值为常数0或1，进而得到此数列为是0或1的常数列，与已知a₁＞0，a₁≠1矛盾，所以假设错误，两种不相等；
（2）把n=1及a1=

3

4

，代入已知的等式即可求出a₂的值，把n=2及a₂的值代入已知的等式即可求出a₃的值，把n=3及a₃的值代入已知等式即可求出a₄的值；且an+1=

3an

2an+1

化简成

1

an+1

=

1

3

(

1

an

)+

2

3

进而得到

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，从而判断数列{

1

an

-1}是等比数列，即可得到这个数列的通项公式a_n．

解答：解：（1）若a_n=a_n+1，即

3an

2an+1

=an，得a_n=0或a_n=1与题设矛盾，
∴a_n≠a_n+1…（6分）
（2）a2=

9

10

，a3=

27

28

，a4=

81

82

…（8分）
由

1

an+1

=

1

3

(

1

an

)+

2

3

，得

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，
∴数列{

1

an

-1}是首项为

1

a1

-1=

1

3

，公比为

1

3

的等比数列，
∴

1

an

-1=(

1

3

)n，得an=

3n

3n+1

…（14分）

点评：此题考查数列的递推式，此题利用反证法对命题进行证明，是一道中档题．