【题目】已知,
,其中
是自然对数的底数,
.
(1)当时,证明:
;
(2)是否存在实数,使
的最小值为3,如果存在,求出
的值;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)存在实数.
【解析】
(1)有题意不等式转化为恒成立,先求出f(x)的最小值,令h(x)=
,x∈[﹣e,0),求导得出函数h(x)的最大值,从而得出结论;
(2)对求导,通过讨论a的范围,求出f(x)的最小值,即可求出a的值.
(1)由题意可知,所证不等式为,
,
因为,
所以当时,
,此时
单调递减;
当时,
,此时
单调递增.
所以在
上有唯一极小值
,即
在
上的最小值为1;
令,
,则
,
当时,
,故
在
上单调递减,
所以
所以当时,
(2)假设存在实数,使
的最小值为3,
①若,由于
,则
,
所以函数在
上是增函数,
所以,解得
与
矛盾,舍去.
②若,则当
时,
,此时
是减函数,
当时,
,此时
是增函数,
所以,解得
.
综上①②知,存在实数,使
的最小值为3.
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【题目】某小学举办“父母养育我,我报父母恩”的活动,对六个年级(一年级到六年级的年级代码分别为1,2…,6)的学生给父母洗脚的百分比y%进行了调查统计,绘制得到下面的散点图.
(1)由散点图看出,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于x的回归方程,并据此预计该校学生升入中学的第一年(年级代码为7)给父母洗脚的百分比.
附注:参考数据:
参考公式:相关系数,若r>0.95,则y与x的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合y与x的关系.回归方程
中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为
=
,
.
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【题目】如图,边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直,M,Q分别为PC,AD的中点.
(1)求证:PA//平面MBD.
(2)试问:在线段AB上是否存在一点N,使得平面PCN⊥平面PQB?若存在,试指出点N的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
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【题目】2018年中秋节到来之际,某超市为了解中秋节期间月饼的销售量,对其所在销售范围内的1000名消费者在中秋节期间的月饼购买量单位:
进行了问卷调查,得到如下频率分布直方图:
求频率分布直方图中a的值;
以频率作为概率,试求消费者月饼购买量在
的概率;
已知该超市所在销售范围内有20万人,并且该超市每年的销售份额约占该市场总量的
,请根据这1000名消费者的人均月饼购买量估计该超市应准备多少吨月饼恰好能满足市场需求
频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表
?
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【题目】若数列满足:对任意
,都有
,则称
为“紧密”数列.
(1)设某个数列为“紧密”数列,其前项依次为
,求
的取值范围;
(2)若数列的前项和
,判断
是否为“紧密”数列,并说明理由;
(3)设是公比为
的等比数列,前
项和为
,且
与
均为“紧密”数列,求实数
的取值范围.
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【题目】已知非零向量列满足:
,
,(
,
).
(1)证明:数列是等比数列;
(2)向量与
的夹角;
(3)设,将
中所有与
共线的向量按原来的顺序排成一列,记作
,令
,
为坐标原点,求点
的坐标.
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【题目】如图所示,在等腰梯形中,
,
,
,点
为
的中点.将
沿
折起,使点
到达
的位置,得到如图所示的四棱锥
,点
为棱
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)若平面平面
,求三棱锥
的体积.
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