Question

设f(x)=

1+ax

1-ax

（a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．
（1）求g（x）；
（2）当x∈[2，6]时，恒有g(x)＞loga

t

(x2-1)(7-x)

成立，求t的取值范围；
（3）当0＜a≤

1

2

时，试比较f（1）+f（2）+…+f（n）与n+4的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）欲求原函数的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．
（2）先分离参数t，t＜（x-1）²（7-x）转化为求右边函数式的最小值即可，对于高次函数的最值问题，可利用导数研究解决；
（3）欲比较f（1）+f（2）+…+f（n）与n+4的大小，分而解决之，先比较f（k）与某一式子的大小关系，利用二项式定理可得：f（k）≤1+

2

C 1 k + C 2 k

=1+

4

k(k+1)

=1+

4

k

-

4

k+1

，从而问题解决．

解答：解：（1）由题意得：a^x=

y-1

y+1

＞0
故g（x）=loga

x-1

x+1

，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）；（3分）
（2）由loga

x-1

x+1

＞loga

t

(x2-1)(7-x)

得
①当a＞1时，

x-1

x+1

＞

t

(x2-1)(7-x)

＞0
又因为x∈[2，6]，所以0＜t＜（x-1）²（7-x）
令h（x）=（x-1）²（7-x）=-x³+9x²-15x+7，x∈[2，6]
则h'（x）=-3x²+18x-15=-3（x-1）（x-5）
列表如下：

x	2	（2，5）	5	（5，6）	6
h'（x）		+	0	-
h（x）	5	递增	极大值32	递减	25

所以h（x）_最小值=5，
所以0＜t＜5
②当0＜a＜1时，0＜

x-1

x+1

＜

t

(x2-1)(7-x)

又因为x∈[2，6]，所以t＞（x-1）²（7-x）＞0
令h（x）=（x-1）²（7-x）=-x³+9x²-15x+7，x∈[2，6]
由①知h（x）_最大值=32，x∈[2，6]
所以t＞32
综上，当a＞1时，0＜t＜5；当0＜a＜1时，t＞32；（9分）
（3）设a=

1

1+p

，则p≥1
当n=1时，f（1）=1+

2

p

≤3＜5
当n≥2时
设k≥2，k∈N^*时
则f（k）=

1+ak

1-ak

=1+

2

(1+p)k-1

=1+

2

C 1 k p+ C 2 k p2+…+ C k k pk

所以f（k）≤1+

2

C 1 k + C 2 k

=1+

4

k(k+1)

=1+

4

k

-

4

k+1

从而f（2）+f（3）+…+f（n）≤n-1+

4

2

-

4

n+1

＜n+1
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＜f（1）+n+1≤n+4
综上，总有f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＜n+4．（14分）

点评：本小题考查函数、反函数、不等式、导数及其应用等基础知识，考查划归，分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力．