Question

已知f(x)=x²＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值？

 

Answer 1

【答案】

x=－2时，f(x) _min=－3．

【解析】主要考查对数运算、二次函数、对数函数的图象和性质。

解：由f(－1)=－2 ，得：f(－1)=1－(lga＋2)＋lgb=－2，解之lga－lgb=1，

∴=10，a=10b．

又由x∈R，f(x)≥2x恒成立．知：x²＋(lga＋2)x＋lgb≥2x，即x²＋xlga＋lgb≥0，对x∈R恒成立，

由Δ=lg²a－4lgb≤0，整理得(1＋lgb)²－4lgb≤0

即(lgb－1)²≤0，只有lgb=1，不等式成立．

即b=10，∴a=100．

∴f(x)=x²＋4x＋1=(2＋x)²－3

当x=－2时，f(x) _min=－3．