Question

某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：

R(x)=，其中x是仪器的月产量.

(1)将利润表示为月产量的函数.

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益=总成本+利润)

Answer 1

思路分析：本题主要考查二次函数及其最值，以及应用二次函数解决实际问题的能力.(1)利润=总收益-总成本；(2)转化为求函数的最值，由于此函数是分段函数，则要求出各段上的最大值，再从中找出函数的最大值.

解：(1)设月产量为x台，则总成本为20 000+100x，从而利润

f(x)=

(2)当0≤x≤400时，f(x)=(x-300)²+25 000,所以当x=300时，有最大值25 000；

当x＞400时，f(x)=60 000-100x是减函数，

所以f(x)＜60 000-100×400＜25 000.

所以当x=300时，有最大值25 000,

即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25 000元.

绿色通道：二次函数模型是一种常见的函数应用模型，是高考的重点和热点.其解题关键是列出二次函数解析式，即建立函数模型，转化为求二次函数的最值等问题.