Question

已知x、y满足

y＞0 x+y+1＜0 3x+y+9＞0

记点（x，y）对应的平面区域为P．
（Ⅰ）设z=

y+1

x+3

，求z的取值范围；
（Ⅱ）过点（-5，1）的一束光线，射到x轴被反射后经过区域P，当反射光线所在直线l经过区域P内的整点（即横纵坐标均是整数的点）时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）作出可行域，z的几何意义为动动Q到定点P（-3，-1）的斜率．
（2）利用反射光线的性质确定直线的斜率，然后求出直线的方程．

解答：解：平面区域如图所示，易得A、B、C三点坐标分别为A（-4，3）、B（-3，0）、C（-1，0）．
（Ⅰ）由z=

y+1

x+3

知z的值即是定点P（-1，-3）与区域内的点Q（x，y）连接的直线的斜率，
当直线过A（-4，3）时，z=-4；
当直线过C（-1，0）时，z=

1

2

．
故z的取值范围是(-∞，-4)∪(

1

2

，+∞)．…（6分）
（Ⅱ）过点（-5，1）的光线被x轴反射后的光线所在直线必经过点（-5，-1），由
题设可得区域内坐标为整数点仅有点（-3，1），
故直线l的方程是

y-1

(-1)-1

=

(x+3)

(-5)+3

，即x-y+4=0．
…（12分）

点评：本题主要考查线性规划的简单应用，利用z的几何意义求最值是解决本题的关键．