Question

5．如 图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F、G 分别为 AB、BB₁、B₁C₁ 的中点．
（1）求证：A₁D⊥FG；
（2）求二面角 A₁-DE-A 的正切值．

Answer 1

分析 （1）连接B₁C、BC₁，则FG∥BC₁，再由A₁D∥B₁C，B₁C⊥BC₁，能证明A₁D⊥FG．
（2）过A作AH⊥ED于H，连接A₁H，推导出∠AHA₁是二面角A-DE-A₁的平面角，由此能求出二面角A₁-DE-A的正切值．

解答 证明：（1）连接B₁C、BC₁…（1分）
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
为F、G分别为BB₁、B₁C₁的中点，
∴FG∥BC₁…（2分）
又∵A₁D∥B₁C，B₁C⊥BC₁
∴A₁D⊥FG．…（4分）
解：（2）过A作AH⊥ED于H，连接A₁H…（5分）
∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，
∴A₁A⊥ED
∵AH⊥ED∴ED⊥平面A₁AH…（6分）∴ED⊥A₁H，
∴∠AHA₁是二面角A-DE-A₁的平面角…（7分）
∵正方体的棱长为2，E为AB的中点，
∴AE=1，AD=2，
∴R_t△EAD中，$AH=\frac{AD•AE}{DE}=\frac{2×1}{{\sqrt{5}}}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，
∴R_t△A₁AH中，$tan∠AH{A_1}=\frac{{{A_1}A}}{AH}=\frac{2}{{\frac{2}{{\sqrt{5}}}}}=\sqrt{5}$…（9分）
∴二面角A₁-DE-A的正切值为$\sqrt{5}$．…（10分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．