Question

一条直线经过P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程．
（1）倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍；
（2）夹在两坐标间的线段被P分成1：2；
（3）与x轴，y轴正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小．

Answer 1

分析：（1）先求得直线x-4y+3=0的倾斜角，再用二倍角的正切求得所求直线的斜率；
（2）先设出直线方程，再求出与坐标轴的交点坐标，用两点间距离公式表示出两线段求得；
（3）设出直线方程，分别求得在x轴，y轴正半轴的截距，建立三角形面积模型，再求最值所在状态．

解答：解：（1）直线x-4y+3=0的倾斜角是α=arctan

1

4

，∴所求直线的倾斜角β=2arctan

1

4

，∴其斜率k=tan（2arctan

1

4

）=

8

15

∴所求直线方程是：y-2=

8

15

（x-3）即：8x-15y+6=0
（2）设直线方程为y-2=k（x-3）
令x=0得，y=2-3k；与y轴交点坐标A（0，2-3k）
令y=0得，x=3-

2

k

与x轴交点坐标B（3-

2

k

，0）
①若|PB|=2|PA|
∴

9+(2-2+3k)2

=2

(3-3+ 2 k )2+4

解得：k=-

1

3

或

1

3

（舍），
直线方程是x+3y-9=0，
②若|PA|=2|PB|，同理可得直线方程为4x+3y-18=0
故直线方程是4x+3y-18=0或x+3y-9=0
（3）设直线方程为

x

a

+

y

b

=1
1=

3

a

+

2

b

≥2

3 a • 2 b

=2

6 ab

得ab≥24
S_△min=

ab

2

=12

3

a

=

2

b

，ab=24
解得a=6，b=4
所以所求直线方程为

x

6

+

y

4

=1

点评：本题主要考查直线方程的应用．