【题目】已知数列{an}是等差数列,Sn为{an}的前n项和,且a10=19,S10=100;数列{bn}对任意n∈N* , 总有b1b2b3…bn﹣1bn=an+2成立.
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)记cn=(﹣1)n ,求数列{cn}的前n项和Tn .
【答案】解:(Ⅰ)设{an}的公差为d,
则a10=a1+9d=19, ,
解得a1=1,d=2,所以an=2n﹣1,)
所以b1b2b3…bn﹣1bn=2n+1…①
当n=1时,b1=3,
当n≥2时,b1b2b3…bn﹣1=2n﹣1…②
①②两式相除得
因为当n=1时,b1=3适合上式,所以 .
(Ⅱ)由已知 ,
得
则Tn=c1+c2+c3+…+cn= ,
当n为偶数时,
=
= ,
当n为奇数时,
=
= .
综上:
【解析】(Ⅰ)由题意和等差数列的前n项和公式求出公差,代入等差数列的通项公式化简求出an , 再化简b1b2b3…bn﹣1bn=an+2,可得当n≥2时b1b2b3…bn﹣1=2n﹣1,将两个式子相除求出bn;(Ⅱ)由(1)化简cn=(﹣1)n ,再对n分奇数和偶数讨论,分别利用裂项相消法求出Tn , 最后要用分段函数的形式表示出来.
【考点精析】解答此题的关键在于理解等差数列的前n项和公式的相关知识,掌握前n项和公式:,以及对数列的前n项和的理解,了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系.
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【题目】某公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名.如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有10名女性.
(1)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?
(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有2名女性,若从“超级体育迷”中任意选取2人,求至少有1名女性观众的概率.
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以椭圆C的短轴为直径的圆O经过两个焦点,A,B是椭圆C的长轴端点.
(1)求椭圆C的标准方程和圆O的方程;
(2)设P、Q分别是椭圆C和圆O上位于y轴两侧的动点,若直线PQ与x平行,直线AP、BP与y轴的交点即为M、N,试证明∠MQN为直角.
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【题目】已知函数f(x)=a(x﹣1)2+lnx+1,g(x)=f(x)﹣x,其中a∈R.
(Ⅰ)当a=﹣ 时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)当a>0时,求函数g(x)的单调区间;
(Ⅲ)当x∈[1,+∞)时,若y=f(x)图象上的点都在 所表示的平面区域内,求实数a的取值范围.
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【题目】下列说法中错误的是( )
A. 给定两个命题,若为真命题,则都是假命题;
B. 命题“若,则”的逆否命题是“若,则”;
C. 若命题,则,使得;
D. 函数在处的导数存在,若是的极值点,则是 的充要条件.
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【题目】设f(x)=sin( x﹣ )﹣2cos2 x+1.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线x=1对称,求当x∈[0, ]时,y=g(x)的最大值.
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【题目】已知函数,在点M(1,f(1))处的切线方程为9x+3y-10=0,求
(1)实数a,b的值;
(2)函数f(x)的单调区间以及在区间[0,3]上的最值.
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