Question

（2012•安徽模拟）已知函数f（x）=x²-mx在[1，+∞）上是单调函数．
（1）求实数m的取值范围；
（2）设向量

a

=(-sinα，2)，

b

=(-2sinα，

1

2

)，

c

=(cos2α，1)，

d

=(1，3)，求满足不等式f(

a

•

b

)＞f(

c

•

d

)的α的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）=x²-mx在[1，+∞）上是单调函数，可得x=

m

2

≤1，从而可求实数m的取值范围；
（2）由（1）知，函数f（x）=x²-mx在[1，+∞）上是单调增函数，由已知不等式，可得2-cos2α＞cos2α+3，从而可求α的取值范围为．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x²-mx在[1，+∞）上是单调函数
∴x=

m

2

≤1
∴m≤2
∴实数m的取值范围为（-∞，2]；
（2）由（1）知，函数f（x）=x²-mx在[1，+∞）上是单调增函数
∵

a

•

b

=2-2cos2α≥1，

c

•

d

=cos3α+3≥1
∵f(

a

•

b

)＞f(

c

•

d

)
∴2-cos2α＞cos2α+3
∴cos2α＜-

1

2

∴kπ+

π

3

＜α＜kπ+

2

3

π(k∈Z)
∴α的取值范围为kπ+

π

3

＜α＜kπ+

2

3

π(k∈Z)．

点评：本题考查函数的单调性，考查求解不等式，解题的关键是利用单调性确定参数的范围，将抽象不等式转化为具体不等式．