练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4和直线l：x+2y+2=0，直线m经过圆C外定点A（1，0）．
    （1）若m与圆C相交于P，Q两点，问：当圆心C到直线m距离取何值时，三角形CPQ的面积取最大值，并写出此时m的直线方程；
    （2）若直线m与圆C相交于P，Q两点，与l交于N点，且线段PQ的中点为M，则判断|AM|•|AN|是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由．
    分析：（1）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx-y-k=0，设圆心到直线的距离为d，则建立三角形CPQ的面积s关于d的函数关系式，求函数的最值，再利用点到直线的距离公式列方程即可得解
    （2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx-y-k=0，把所设直线与直线l方程联立，解得点N的坐标，再将直线与圆的方程联立，利用韦达定理，求出M点的坐标，而A（1，0），利用两点间的距离公式计算并化简得到的|AM|•|AN|的代数式即可得解
    解答：解：（1）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx-y-k=0，
    设圆心到直线的距离为d又∵三角形CPQ面积
    S=
    1
    2
    d×2
    		4-d2
    =d
    		4-d2
    =
    		4d2-d4
    =
    		-(d2-2)2+4
    ，

    ∴当d=
    		2
    时，S取得最大值2∴d=
    |2k-4|
    		1+k2
    =
    		2
    ，k=1或k=7
    ∴直线方程为y=x-1，或y=7x-7
    （2）解：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，
    可设直线方程为kx-y-k=0
    由
    x+2y+2=0
    kx-y-k=0
    得N(
    2k-2
    2k+1
    ，-
    3k
    2k+1
    )
    再由
    y=kx-k
    (x-3)2+(y-4)2=4

    得（1+k2）x2-（2k2+8k+6）x+k2+8k+21=0．
    ∴x^+x^=
    2k2+8k+6
    1+k2
    得M(
    k2+4k+3
    1+k2
    ，
    4k2+2k
    1+k2
    )
    ∴|AM|•|AN|=
    		(
    k2+4k+3
    1+k2
    -1)    2    +(
    4k2+2k
    1+k2
    )    2
    •
    		(
    2k-2
    2k+1
    -1)    2    +(-
    3k
    2k+1
    )    2
    =
    2|2k+1|
    1+k2
    		1+k2
    •
    3
    		1+k2
    |2k+1|
    =6    为定值
    点评：本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，两点之间的距离公式，重点考查了对利用韦达定理，设而不求的解题方法的掌握，解题时要认真体会，耐心求解
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4，直线l1过定点A（1，0）．
    （Ⅰ）若l1与圆相切，求l1的方程；
    （Ⅱ）若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，求证：AM•AN为定值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4，
    （Ⅰ）若直线l1过定点A（1，0），且与圆C相切，求l1的方程；
    （Ⅱ）若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x+y-2=0上，且与圆C外切，求圆D的方程．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4，
    （1）直线l1过定点A （1，0）．若l1与圆C相切，求l1的方程；
    （2）直线l2过B（2，3）与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的轨迹方程．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4，
    （Ⅰ）若a=y-x，求a的最大值和最小值；
    （Ⅱ）若圆D的半径为3，圆心在直线L：x+y-2=0上，且与圆C外切，求圆D的方程．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知圆C：（x+3）2+（y-4）2=4．
    （1）若直线l1过点A（-1，0），且与圆C相切，求直线l1的方程；
    （2）若圆D的半径为4，圆心D在直线l2：2x+y-2=0上，且与圆C内切，求圆D的方程．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案